الحمد لله، والصلاة والسلام على رسول الله، وعلى آله، وصحبه، أما بعد:
فكان من الواجب عليك تسخين الماء -إن أمكن-، ثم الاغتسال، ولو ترتّب على ذلك فوات الصلاة جماعةً في المسجد، قال ابن قدامة في المغني: وإن خاف من شدة البرد، وأمكنه أن يسخّن الماء، أو يستعمله على وجه يأمن الضرر، مثل أن يغسل عضوًا عضوًا، وكلما غسل شيئًا ستره، لزمه ذلك. وإن لم يقدر، تيمّم وصلّى في قول أكثر أهل العلم. اهـ.
وراجع المزيد في الفتوى: 336871
أما وقد حصل ما حصل، فالواجب عليك إعادة فريضة الفجر بعد الاغتسال.
وراجع المزيد من التفصيل في الفتوى: 125226.
والله أعلم.