Salam'aleykoum
Est-il autorisé dans la prière, pour les unités lues à voix basse, de lire la Fatiha rapidement ?

Louange à Allah et que la paix et la bénédiction soient sur Son Prophète et Messager, Mohammed, ainsi que sur sa famille et ses Compagnons : 

Si elle n’entraine ni l’omission ni la déformation de certaines lettres, une déformation qui modifie le sens, la rapidité de la lecture de sourate al-Fatiha n'a aucune incidence sur la validité de la prière. Toutefois les oulémas détestent la précipitation excessive dans la récitation du Coran d’une manière générale et de sourate Al-Fatiha en particulier. Il est mentionné dans le livre Tuhfat al-Mouhtâj qui est un livre chafiite : Il est recommandé de lire le Coran calmement et clairement. Sa récitation trop rapide est abhorrée. Fin de citation
La rapidité excessive dans la récitation empêche la méditation or Allah, exalté soit-Il, dit : [Voici] un Livre béni que Nous avons fait descendre vers toi, afin qu'ils méditent sur ses versets et que les doués d'intelligence réfléchissent ! (Coran 38/29)
Si la rapidité de la récitation de sourate Al-Fatiha est telle qu'elle entraine la déformation ou l’omission de certaines lettres ou versets, elle n'est pas permise et la prière dans ce cas n’est pas valide.

Et Allah sait mieux