Quel est le statut de donner comme prénom à sa fille: Amîrat Al-Rahmân (la princesse du miséricordieux). Est-ce que cela est permis ou cela le serait-il si on modifiait le prénom en la princesse du sabre du Miséricordieux : Amîrat Sayf Al-Rahmân ?

Louange à Allah et que la paix et la bénédiction soient sur Son Prophète et Messager, Mohammed, ainsi que sur sa famille et ses Compagnons :
Il n’y a pas de mal – si Allah le veut – à prénommer sa fille la princesse du Miséricordieux : Amîrat Al-Rahmân. Puisqu’annexer un nom à Allah dans cette composition revient à Lui annexer une créature dont Il est le Souverain comme il est le Souverain de toutes les autred créatures.
Ibn Taymiyya a dit dans son livre Al-Jawâb Al-Sahîh Li Man Baddala Dîn Al-Masîh : Les entités concrètes, lorsqu'elles sont attribuées à Allah - Exalté soit-Il - le sont soit de manière générale, dans le sens où elles partagent avec les autres créatures le fait d'être créées, possédées par Lui, sous Son contrôle, etc. Dans ce cas les entités ont toutes ce point en commun, comme il est mentionné dans ce verset : Telle est la création d’Allah. (Coran 31/11). Mais dans un autre temps, les entités peuvent être attribuées à Allah pour un sens qui leur est spécifique et se distinguent des autres entités de la même espèce. C’est le cas quand on dit : la maison d’Allah, la chamelle d’Allah, le serviteur d’Allah, l’esprit d’Allah. Il est bien connu que la chamelle du prophète Sâlih se distingue de toutes les autres chamelles. De même que la Ka’ba, qui se distingue de toutes les autres maisons. Et le serviteur vertueux qui a adoré Allah et Lui a obéi se distingue de Ses autres serviteurs. Il en est de même que l’esprit pure qui se distingue des autres esprits. Les entités ont toutes pour point commun d’avoir été créées par Allah, elles appartiennent toute à Lui et sont toutes sous Sa souveraineté. Elles subissent Son jugement, Son décret et Son destin. Quand ces entités sont attribuées à Allah, elles n’ont aucune spécificité et il n’y a aucun mérite à l’objet en question. Mais certaines entités se distinguent par le fait qu’Allah les aime, les agrée, les a choisies, les rapproche de Lui, ordonne par leur biais, leur accorde de l’importance et les aime. Ce type d’attribution à Allah est spécifique à certaines créations. C’est le cas de la maison, de la chamelle, de l’âme, et des serviteurs d’Allah aussi. Et Allah dit : Mentionne aussi celle qui sut préserver sa chasteté que Nous avons récompensée en insufflant en elle de Notre Esprit, faisant d’elle et de son fils un signe pour l’humanité. (Coran 21/91). Fin de citation.
Ceci dit, le mieux est d’appeler votre fille La servante du Miséricordieux : Amat Al-Rahmân puisque cela recouvre le même sens que Abd Al-Rahmân, c'est-à-dire le serviteur du miséricordieux, qui est un des noms les plus aimés d’Allah, comme cela a été rapporté dans Sahih Mouslim selon Ibn Omar : le Prophète () a dit : Vos noms qu’Allah aime le plus sont Abdullah et Abd Al-Rahmân.  
Et Allah sait mieux.