Si je désire offrir en sacrifice plusieurs poulets, m'est-il permis de dire bismillah une seule fois avant le premier sacrifice ou dois-je le dire avant le sacrifice de chacun d'entre eux ?

Louange à Allah et que la paix et la bénédiction soient sur Son Prophète et Messager, Mohammed, ainsi que sur sa famille et ses Compagnons :

Tout d’abord il convient de savoir que les sacrifices sont de deux types : le premier correspond à ce qui est égorgé pour la consommation de viande et qui n’est pas un acte d’adoration, et le second correspond à ce qui est égorgé pour se rapprocher d’Allah, comme al-Udhiya qui désigne le sacrifice réalisé le jour du ‘Îd, al-Hadyî qui désigne le sacrifice réalisé lors du pèlerinage, al-‘Aqîqa qui désigne le sacrifice réalisé à l’occasion d’une naissance, etc.

Les oulémas se sont accordés sur le fait que le second type de sacrifice  n’est permis qu’avec des bêtes de cheptel (les moutons, les chameaux et les vaches) et qu'il est interdit de le faire avec tout autre animal comme des buffles, des antilopes et autres, car Allah, exalté soit-Il, dit (sens du verset) :
A chaque communauté, Nous avons assigné un rite sacrificiel, afin qu'ils prononcent le nom d'Allah sur la bête de cheptel qu'Il leur a attribuée. [...] (Coran 22/34)

De plus, il n'a jamais été rapporté que le Prophète () ou l'un de ses compagnons aient sacrifié un autre animal. En effet, le sacrifice est un acte d'adoration lié à l'animal et est spécifique aux seules bêtes de cheptel et il en est de même pour la Zakât qui ne concerne aussi que les bêtes de cheptel.

Référez-vous pour cela au livre intitulé Al-Mughnî et à celui intitulé Bidâyat al-Mudjtahid.

Partant, il n'est donc pas valable d’offrir un poulet dans le second type de sacrifice. Si on veut égorger un certain nombre de poulets pour la consommation de viande, il est alors obligatoire de prononcer la basmallah pour chacun d'entre eux.

Et Allah sait mieux.