الرئيسية
موسوعات
مقالات
الفتوى
الاستشارات
الصوتيات
المكتبة
المواريث
بنين وبنات
كتب الأمة
تعريف بالمكتبة
قائمة الكتب
عرض موضوعي
تراجم الأعلام- الرئيسية
- الذخيرة
- كتاب الفرائض
- القسم الثاني من الكتاب في الحساب
- النظر الأول في الحساب المفتوح
- الباب الأول في الضرب
صفحة
89
[ ص: 89 ] القسم الثاني من الكتاب
في
الحساب
[ ص: 90 ] [ ص: 91 ] القسم الثاني من الكتاب
في
الحساب
وفيه نظران :
النظر الأول
في
الحساب المفتوح
وفيه عشرة أبواب :
الباب الأول
في
الضرب
وفيه فصلان :
الفصل الأول في ضرب الصحاح ، وحقيقته تضعيف أحد المضروبين بعدد المضروب الآخر ، كثلاثة في أربعة ، فتضعف الثلاثة أربع مرات ، أو الأربعة ثلاث مرات فيحصل اثنا عشر .
ومراتب العدد أربعة : آحاد ، وعشرات ، ومئات ، وألوف ، ثم تكرر المراتب في الألوف وعشرات الألوف ومئات الألوف وآلاف الألوف .
ثم الضرب يقع في المفردات ، وهو ضرب مرتبة واحدة في مرتبة واحدة كما تقدم في الثلاثة والأربعة ، وطريقة الحفظ والتدريب في الضرب والجمع ، فإذا [ ص: 92 ] ضربت مئين في مئين ونحوه وأردت معرفته بطريق مختصر ، فتجمع عدد مراتب المضروب ومراتب المضروب فيه وتنقص منه واحدا وتحفظها وترد كل واحد من المضروبين لمرتبة الآحاد وتضرب أحدهما في الآخر فما حصل ترقيه في المراتب المحفوظة معك فما بلغ فهو مطلوب الضرب .
مثاله ثلاثمائة في أربعمائة ، كل واحد منهما مشتمل على ثلاث مراتب : آحاد وعشرات ومئات ، ففي كل واحد ثلاثة فهي ستة ، إذا نقصت واحدا بقيت خمسة ، فتضرب ثلاثة في أربعة يحصل اثنا عشر ، فهذه رتبة كمل عليها خمس رتب : ثانيها مائة وعشرون ، ثالثها ألف ومائتان ، رابعها اثنا عشر ألفا ، خامسها مائة ألف وعشرون ألفا وهو المتحصل من الضرب المذكور ، فهذا ضابط على وجه الاختصار .
وإن ضربت مرتبتين في مرتبتين نحو خمسة عشر في أربعة عشر ، فاضرب كل واحد من أحد العددين في كل واحد من أحد العددين من الجانب الآخر ، فتضرب خمسة في أربعة ثم في عشرة ، ثم تضرب عشرة في خمسة ثم في عشرة ، وكذلك مائة وخمسة وعشرون في مائة وخمسة وعشرين .
وطريقة أخرى في الاختصار في المركبات وهي إما أن يكون أكثر أجزاء أحدهما ومراتبه مساويا لأعلى مراتب الآخر أو مخالفا ، ففي المساوي يضم الزائد على المرتبة العليا من أحد الجانبين إلى الجانب الآخر ، وتضاعف المرتبة العليا بعدد ما يحصل ثم تضرب الزائد في الزائد وتضمه إلى المتحصل يكون المطلوب .
مثالان خمسة عشر في سبعة عشر ، تضم الخمسة إلى السبعة عشر تبلغ اثنين وعشرين فتضاعف المرتبة العليا التي هي العشرة بذلك يحصل مائتين وعشرين ، ثم تضرب سبعة في خمسة وثلاثين تضمها إلى الحاصل تبلغ مائتين وخمسة وخمسين وهو المطلوب ، أو أربعة وعشرين في خمسة وعشرين تضم الخمسة إلى الأربعة والعشرين تبلغ تسعة وعشرين ، فتضاعف العشرين وهي المرتبة بهذا تبلغ خمسمائة وثمانين وتضرب أربعة في خمسة [ ص: 93 ] تبلغ عشرين تضيفها إلى خمسمائة وثمانين يكون ستمائة وهو المطلوب .
وأما عند المخالفة فتعد بكل واحد من أكثر العددين [ المرتبة العليا من أقل العددين ] وبالزائد من أقل العددين المرتبة العليا من أكثر العدد ، ثم نضرب الزائد في الزائد والمجموع المطلوب .
مثاله خمسة عشر في أربعة وعشرين فتعد بكل واحد من الأربعة والعشرين العشرة تبلغ مائتين وأربعين ثم تعد بالخمسة العشرين تبلغ مائة ، ثم تضرب الأربعة في الخمسة تبلغ عشرين ، فجميع الأعداد ثلاثمائة وستون وهو المطلوب ، ويطرد ما ذكرناه في المركبات .
الفصل الثاني في ضرب الكسور في الصحاح والكسور .
واعلم أن حقيقة الضرب أبدا تلاحظ فيه حقيقة الإضافة عند النحاة ، فإذا قلت ثلاثة في ثلاثة فمعناه ثلاثة الثلاثة فهي تسعة ، وكذلك نصف في اثنين ، معناه نصف الاثنين فيكون واحدا ، ونصف في نصف معناه نصف النصف فيكون ربعا ، وربع في نصف معناه ربع النصف وهو ثمن ، وكذلك بقيتها ، فيفضي ضرب الصحيح أبدا للزيادة ، وضرب الكسر أبدا للنقصان .
مسألة
إذا قيل لك كيف تضرب أربعة أخماس في أربعة أخماس ، فاضرب عدد الأخماس في نفسها تبلغ ستة عشر ، ثم تضرب المخرج في نفسه وهو خمسة في خمسة تبلغ خمسة وعشرين ، فيكون المتحصل من الضرب ستة عشر جزءا من خمسة وعشرين جزءا من واحد ، وكذلك إذا قيل اضرب أربعة أخماس في خمسة أسباع ، فتضرب أربعة في خمسة بعشرين ، وتضرب مخرج السبع وهو سبعة في مخرج الخمس وهو خمسة تكون خمسة وثلاثين جزءا ، وكذلك إذا قيل لك اضرب نصفا في ثلث فتقول واحد في واحد [ ص: 94 ] بواحد وثلاثة في اثنين بستة يكون الخارج من الضرب واحد من ستة .
تنبيه : على ميزان الضرب كيف يختبر هل هو صحيح أم لا ، فتعد عقود أحد العددين المضروبين فإن بلغت تسعة أو ما تعده التسعة لزم أن تكون عقود الحاصل من الضرب تسعة أو ما تعده التسعة ، وإن لم تكن تسعة ولا ما تعده التسعة ، وكان أقل من التسعة ضربته في الآخر ، فإن زاد على التسعة حذفت منه التسعة حتى يرجع إلى أقل من التسعة ، ثم ضربت عقود أحد المضروبين في الآخر حتى تبلغ تسعة فما دونها ، ثم توازن به الراجع من عقود المضروبين بعد حذف التسعة إن زاد عليها ، فإن تساويا فالضرب صحيح وإلا فلا .
مثاله في التسعة : ثمانية عشر في عشرين تكن ثلاثمائة وستين ، وعقود أحد المضروبين ثمانية وعشرة وهي تسعة ، وعقود الحاصل من الضرب ثلاثمائة بثلاثة عقود ، وستون بستة ، مجموعها تسعة .
مثاله في المعدود بالتسعة ، إذا ضربت تسعة وتسعين في عشرين تبلغ ألفا وتسعمائة وثمانين ، فعقود أحد المضروبين ثمانية عشر لأن التسعة تسعة عقود ، والتسعون مثلها فمجموعها ثمانية عشر ، وتعدها التسعة ، وعقود حاصل الضرب ثمانية عشر وتعدها التسعة .
ومثال أقل من التسعة إذا ضربت الثلاثة في العشرين بلغت ستين فعقود كل واحد من المضروبين أقل من التسعة ، وهو الثلاثة والاثنان ، فإذا ضربت أحدها في الآخر بلغ ستة وهو مثل عقود الستين الحاصل من الضرب .
مثال الراجع إلى أقل من التسعة خمسون في سبعين بثلاثة آلاف وخمسمائة ، فعقود أحد المضروبين خمسة وسبعة وكل واحد أقل من تسعة فإذا ضربت أحدهما في الآخر بلغ خمسة وثلاثين ، فإذا عددته بالتسعة رجع إلى ثمانية وهو مثل عقود الحاصل من الضرب فإن ثلاثة آلاف ثلاثة عقود وخمسمائة ومجموعها ثمانية .
[ ص: 95 ]
في
الحساب
[ ص: 90 ] [ ص: 91 ] القسم الثاني من الكتاب
في
الحساب
وفيه نظران :
النظر الأول
في
الحساب المفتوح
وفيه عشرة أبواب :
الباب الأول
في
الضرب
وفيه فصلان :
الفصل الأول في ضرب الصحاح ، وحقيقته تضعيف أحد المضروبين بعدد المضروب الآخر ، كثلاثة في أربعة ، فتضعف الثلاثة أربع مرات ، أو الأربعة ثلاث مرات فيحصل اثنا عشر .
ومراتب العدد أربعة : آحاد ، وعشرات ، ومئات ، وألوف ، ثم تكرر المراتب في الألوف وعشرات الألوف ومئات الألوف وآلاف الألوف .
ثم الضرب يقع في المفردات ، وهو ضرب مرتبة واحدة في مرتبة واحدة كما تقدم في الثلاثة والأربعة ، وطريقة الحفظ والتدريب في الضرب والجمع ، فإذا [ ص: 92 ] ضربت مئين في مئين ونحوه وأردت معرفته بطريق مختصر ، فتجمع عدد مراتب المضروب ومراتب المضروب فيه وتنقص منه واحدا وتحفظها وترد كل واحد من المضروبين لمرتبة الآحاد وتضرب أحدهما في الآخر فما حصل ترقيه في المراتب المحفوظة معك فما بلغ فهو مطلوب الضرب .
مثاله ثلاثمائة في أربعمائة ، كل واحد منهما مشتمل على ثلاث مراتب : آحاد وعشرات ومئات ، ففي كل واحد ثلاثة فهي ستة ، إذا نقصت واحدا بقيت خمسة ، فتضرب ثلاثة في أربعة يحصل اثنا عشر ، فهذه رتبة كمل عليها خمس رتب : ثانيها مائة وعشرون ، ثالثها ألف ومائتان ، رابعها اثنا عشر ألفا ، خامسها مائة ألف وعشرون ألفا وهو المتحصل من الضرب المذكور ، فهذا ضابط على وجه الاختصار .
وإن ضربت مرتبتين في مرتبتين نحو خمسة عشر في أربعة عشر ، فاضرب كل واحد من أحد العددين في كل واحد من أحد العددين من الجانب الآخر ، فتضرب خمسة في أربعة ثم في عشرة ، ثم تضرب عشرة في خمسة ثم في عشرة ، وكذلك مائة وخمسة وعشرون في مائة وخمسة وعشرين .
وطريقة أخرى في الاختصار في المركبات وهي إما أن يكون أكثر أجزاء أحدهما ومراتبه مساويا لأعلى مراتب الآخر أو مخالفا ، ففي المساوي يضم الزائد على المرتبة العليا من أحد الجانبين إلى الجانب الآخر ، وتضاعف المرتبة العليا بعدد ما يحصل ثم تضرب الزائد في الزائد وتضمه إلى المتحصل يكون المطلوب .
مثالان خمسة عشر في سبعة عشر ، تضم الخمسة إلى السبعة عشر تبلغ اثنين وعشرين فتضاعف المرتبة العليا التي هي العشرة بذلك يحصل مائتين وعشرين ، ثم تضرب سبعة في خمسة وثلاثين تضمها إلى الحاصل تبلغ مائتين وخمسة وخمسين وهو المطلوب ، أو أربعة وعشرين في خمسة وعشرين تضم الخمسة إلى الأربعة والعشرين تبلغ تسعة وعشرين ، فتضاعف العشرين وهي المرتبة بهذا تبلغ خمسمائة وثمانين وتضرب أربعة في خمسة [ ص: 93 ] تبلغ عشرين تضيفها إلى خمسمائة وثمانين يكون ستمائة وهو المطلوب .
وأما عند المخالفة فتعد بكل واحد من أكثر العددين [ المرتبة العليا من أقل العددين ] وبالزائد من أقل العددين المرتبة العليا من أكثر العدد ، ثم نضرب الزائد في الزائد والمجموع المطلوب .
مثاله خمسة عشر في أربعة وعشرين فتعد بكل واحد من الأربعة والعشرين العشرة تبلغ مائتين وأربعين ثم تعد بالخمسة العشرين تبلغ مائة ، ثم تضرب الأربعة في الخمسة تبلغ عشرين ، فجميع الأعداد ثلاثمائة وستون وهو المطلوب ، ويطرد ما ذكرناه في المركبات .
الفصل الثاني في ضرب الكسور في الصحاح والكسور .
واعلم أن حقيقة الضرب أبدا تلاحظ فيه حقيقة الإضافة عند النحاة ، فإذا قلت ثلاثة في ثلاثة فمعناه ثلاثة الثلاثة فهي تسعة ، وكذلك نصف في اثنين ، معناه نصف الاثنين فيكون واحدا ، ونصف في نصف معناه نصف النصف فيكون ربعا ، وربع في نصف معناه ربع النصف وهو ثمن ، وكذلك بقيتها ، فيفضي ضرب الصحيح أبدا للزيادة ، وضرب الكسر أبدا للنقصان .
مسألة
إذا قيل لك كيف تضرب أربعة أخماس في أربعة أخماس ، فاضرب عدد الأخماس في نفسها تبلغ ستة عشر ، ثم تضرب المخرج في نفسه وهو خمسة في خمسة تبلغ خمسة وعشرين ، فيكون المتحصل من الضرب ستة عشر جزءا من خمسة وعشرين جزءا من واحد ، وكذلك إذا قيل اضرب أربعة أخماس في خمسة أسباع ، فتضرب أربعة في خمسة بعشرين ، وتضرب مخرج السبع وهو سبعة في مخرج الخمس وهو خمسة تكون خمسة وثلاثين جزءا ، وكذلك إذا قيل لك اضرب نصفا في ثلث فتقول واحد في واحد [ ص: 94 ] بواحد وثلاثة في اثنين بستة يكون الخارج من الضرب واحد من ستة .
تنبيه : على ميزان الضرب كيف يختبر هل هو صحيح أم لا ، فتعد عقود أحد العددين المضروبين فإن بلغت تسعة أو ما تعده التسعة لزم أن تكون عقود الحاصل من الضرب تسعة أو ما تعده التسعة ، وإن لم تكن تسعة ولا ما تعده التسعة ، وكان أقل من التسعة ضربته في الآخر ، فإن زاد على التسعة حذفت منه التسعة حتى يرجع إلى أقل من التسعة ، ثم ضربت عقود أحد المضروبين في الآخر حتى تبلغ تسعة فما دونها ، ثم توازن به الراجع من عقود المضروبين بعد حذف التسعة إن زاد عليها ، فإن تساويا فالضرب صحيح وإلا فلا .
مثاله في التسعة : ثمانية عشر في عشرين تكن ثلاثمائة وستين ، وعقود أحد المضروبين ثمانية وعشرة وهي تسعة ، وعقود الحاصل من الضرب ثلاثمائة بثلاثة عقود ، وستون بستة ، مجموعها تسعة .
مثاله في المعدود بالتسعة ، إذا ضربت تسعة وتسعين في عشرين تبلغ ألفا وتسعمائة وثمانين ، فعقود أحد المضروبين ثمانية عشر لأن التسعة تسعة عقود ، والتسعون مثلها فمجموعها ثمانية عشر ، وتعدها التسعة ، وعقود حاصل الضرب ثمانية عشر وتعدها التسعة .
ومثال أقل من التسعة إذا ضربت الثلاثة في العشرين بلغت ستين فعقود كل واحد من المضروبين أقل من التسعة ، وهو الثلاثة والاثنان ، فإذا ضربت أحدها في الآخر بلغ ستة وهو مثل عقود الستين الحاصل من الضرب .
مثال الراجع إلى أقل من التسعة خمسون في سبعين بثلاثة آلاف وخمسمائة ، فعقود أحد المضروبين خمسة وسبعة وكل واحد أقل من تسعة فإذا ضربت أحدهما في الآخر بلغ خمسة وثلاثين ، فإذا عددته بالتسعة رجع إلى ثمانية وهو مثل عقود الحاصل من الضرب فإن ثلاثة آلاف ثلاثة عقود وخمسمائة ومجموعها ثمانية .
[ ص: 95 ]
التالي
السابق
الخدمات العلمية
