القاعدة السابعة ، مقادير الأعداد تنقسم إلى منطق وأصم .

فالمنطق ما له اسم جذر يستقل به كالثلاثة بالنسبة للتسعة ، فإن الجذر هو الذي إذا ضرب في نفسه قام منه الجذور ، والمجذور هو يسمى أيضا مربعا .

والأصم ما لا يعرف إلا بالإضافة إلى غيره ، كجذر المقدار الذي ليس بمجذور ، وضلع المقدار الذي ليس بكعب ، وجذر الجذر ، وضلع الضلع ، وجذر الضلع ، ويتكرر ذلك لغير النهاية .

وضابط ما ليس له جذر من العدد أن مراتب العدد آحاد وعشرات ومئون وألوف ، كل مرتبة تسعة والعاشر من المرتبة التي فوقها ، فكل مرتبة زوج كالعشرات أو الألوف لا جذر لها ، فكذلك لا جذر للعشرة ولا للعشرين إلى قولنا تسعين ، وكذلك الألوف إنما تتصور في مرتبة العشرات أو المئين ، وهو محصور في الآحاد في الواحد والأربعة والتسعة من الآحاد ، وما عداها لا جذر له ، وكذلك ما شاكلها من المئين نحو المائة والأربعمائة والتسعمائة ، هذا في العدد المفرد من مرتبة واحدة ، أما المركب من مرتبتين إن كانت مرتبته الدنيا من العدد الذي لا جذر له فلا جذر له ، نحو مائة وعشرين ، فإن العشرين لا جذر لها ، أو من عدد له جذر لكونه من قبيل الآحاد احتمل الجذر ولا يتعين أنه مجذور .

القاعدة الثامنة : إذا جمعنا أعدادا على الولاء من الواحد وتزيد أبدا واحدا واحدا ، وأردت معرفة مجموعها فاجمع الأول للأخير واضرب مجموعهما في نصف عدد الأعداد فالمبلغ ما فيها من العدد .

[ ص: 144 ] مثاله من الواحد إلى العشرة ، تضم الواحد إلى العشرة فتضربه في نصف عدد الأعداد وهو خمسة يخرج خمسة وخمسون وهو الجواب ، وتعليله أن هذه المراتب كل جملتين منها مثل جملتين أخريين ، فالأولى والأخيرة أحد عشر في هذا المثال ، وكذلك المجاورتان لهاتين المرتبتين فالاثنان والتسعة أحد عشر ، وكذلك الثلاثة والثمانية ، والأربعة والسبعة ، والخمسة والستة ، فالعشرة أعداد خمس جمل مستوية فتضربها في خمسة التي عددها فتصير عدد آحادها ، ومن خواص هذا العدد أن يكون العدد الأخير فيه من عدد الآحاد بقدر عدد الأعداد ، فإن كان عدد الأعداد عشرة فالعدد الآخر عشرة .

فإن قيل اجمع عشرة أعداد أولها اثنان وتتفاضل ثلاثة ثلاثة ، فاستخرج العدد الأخير منها بأن تضرب عدد الأعداد إلا واحدا في التفاضل يكون سبعة وعشرين ثم تزيد عليها العدد الأول تكون تسعة وعشرين ، هذا هو العدد الأخير ، تجمع معه العدد الأول وتضربه في نصف عدد الأعداد تكون مائة وخمسة وخمسين وهو مجموع الأعداد .

طريقة أخرى في التفاضل بواحد واحد أو باثنين اثنين أو أكثر ، تنقص من عدد الأعداد واحدا وتضربها في المقدار الذي وقع به التفاضل وهو الواحد أو الاثنان أو غيرهما ، وتضيف إلى المتحصل من الضرب المبتدأ الأول مرة أخرى ، أو تضرب الجميع في نصف عدد الأعداد كان واحدا أو أكثر فالمتحصل هو ما في عدد الأعداد من الآحاد .

القاعدة التاسعة ، كل مقدار قسم قسمين ، فإن مربع أحد القسمين مع ضرب القسم في القسم الآخر مساو لضرب ذلك القسم في المقدار كله ، ومربعا القسمين مع ضرب أحدهما في الآخر مرتين مساو لمربع المقدار كله .

مثاله قسمنا العشرة بستة وأربعة تضرب الستة في نفسها ستة وثلاثون وتضربها في الأربعة أربعة وعشرون ، ومجموعها ستون وهو ضرب الستة في العشرة ، [ ص: 145 ] وضرب الستة في الأربعة مرتين يكون ثمانية وأربعين ، ومربع الستة الحاصل من ضربها في نفسها ستة وثلاثون ، ومربع الأربعة ستة عشر ، مجموع المربعين اثنان وخمسون مع ثمانية وأربعين تبلغ مائة وهو الحاصل من ضرب العشرة في نفسها .

القاعدة العاشرة : كل مقدار زيد عليه زيادة فإن ضرب ذلك المقدار مع الزيادة مع مربع نصف المقدار مساو لمربع نصف المقدار مع الزيادتين مجموعتين .

مثاله زدنا اثنين على عشرة ، فضرب مجموع العشرة والاثنين في الاثنين مع مربع نصف العشرة مجموعها تسعة وأربعون ، وذلك مساو لضرب نصف العشرة مع الاثنين في نفسها .