[ ص: 163 ] الباب الرابع

في

الجمع

ويمتاز هذا الباب من هذا الفن عن غيره من الحساب بما يتفق فيه من جمع معلوم ومجهول مع ما فيه من استثناء معلوم من مجهول ومجهول من معلوم ، وله فوائد تظهر في مواضعها .

إذا أردت جمع مقدارين جمعت كل جنس مع جنسه ، وما اختلف جمعته بواو العطف ، فإن كان في أحد المجموعين استثناء وفي الآخر من جنس المستثنى جبرته به إن كان مثله ، وإن كان أكثر منه جبرت منه المستثنى بمثله ، أو أقل من المستثنى جبرت منه بمثله وتركت باقي الاستثناء على حاله ، وإن كان الزائد على غير جنس الناقص لم يجبر به وأبقيته على حاله ، نحو مالين وثلاثة أشياء وعشرة دراهم إلا ثلاثة أكعب ، تجمعها إلى كعبين ومالين وعشرة أشياء إلا خمسة دراهم ، الجواب الرابع أربعة أموال وثلاثة عشر شيئا وخمسة دراهم إلا كعبا ، وأما المقادير الصم فلا يجمع بينها بغير واو العطف إلا ما نسبة بعضها إلى بعض كنسبة عدد إلى عدد ، ويعلم ذلك بأن يكون المجموعان من جنس ونسبة منطق أحدهما إلى منطق الآخر كنسبة عددين يخرج منهما مثل الأضلاع المجموعة منطقا ، فإذا وجدت المجموعين بهذه المثابة جمعت ضلعي العددين المنطقي الضلع الذي من جنس المجموعين اللذين على نسبة منطقي المجموعين وحقيقته كتضعيف أحد المجموعين حتى يكون منطقا ، فما كان مضلع العدد الذي نسبته إلى منطق أحد المجموعين كنسبته إلى نظيره من المنطقي الضلع اللذين على نسبتهما مجموع الأصمين اللذين تريد جمعهما .

مثال ذلك إذا قيل اجمع جذر جذر اثنين وجذر جذر اثنين وثلاثين الذين على [ ص: 164 ] نسبة واحد وستة عشر ، أخذت جذر جذر واحد وهو واحد ، وجذر جذر ستة عشر وهو اثنان مجموعهما ثلاثة ، تضعفه بنفسه كتضعيف كل واحد من المجموعين يكون أحدا وثمانين ، نسبته إلى واحد كنسبة مائة واثنين وستين إلى اثنين ، فجذر جذر مائة وستين الجواب .

وهذا الطريق عام في جمع كل مقدارين أصمين ، فإن كان المجموعان جذرين جمعت مربعيهما وضعفت المقدار المتوسط بينهما ، أعني الذي نسبة أحدهما إليه كنسبته إلى الآخر ، فإن كان كل مقدارين مجذورين أو على نسبة عددين مجذورين يقع بينهما عدد منطق يكون معهما ثلاثة أعداد على نسبة واحدة ، وكل مكعبين أو على نسبة عددين مكعبين يقع بينهما مقداران يكون معهما أربعة مقادير على نسبة واحدة ، وكلما بعدت الأضلاع مرتبة زادت الوسائط واسطة فما كان فجذر ه الجواب ، نحو اجمع جذر ثمانية وجذر ثمانية عشر والمقدار المتوسط بينهما اثنا عشر ، جمعت ثمانية وثمانية عشر ، وضعفت اثني عشر تكون خمسين فمجموعها جذر خمسين .

فإن قيل اجمع عشرة دراهم إلا مالا ومالا إلا شيئا تكون عشرة دراهم إلا شيئا ، لأنك تجبر المال الناقص بالمال الزائد ، وكذلك عشرة أموال إلا شيئا وشيء إلا درهما تكون عشرة أموال إلا درهما ، وكذلك تفعل في النقصان ، فإذا وضع من عشرة دراهم إلا شيئا عشرة أشياء إلا درهما ، الباقي أحد عشر درهما إلا أحد عشر شيئا ، لأنك تجبر العشرة إلا شيئا بدرهم لتكمل ، ويزاد الدرهم على الدرهم ، ثم تنقص عشرة الأشياء من العشرة دراهم الناقصة الشيء فتكون الجملة المذكورة وخمسة أشياء إلا مالا من عشرة أموال إلا خمسة أشياء ، فالباقي أحد عشر مالا إلا عشرة أشياء .

واعلم أن جمع الجذور ونقصان بعضها من بعض يختص بكل عددين يكون الخارج من ضرب أحدهما في الآخر جذرا منطقا ، مثل ثمانية واثنين ، وتسعة وأربعة ، واثنين وثمانية عشر ، فإن جذريهما يجتمعان ويكونان جذرا لعدد آخر ، [ ص: 165 ] وما ليس كذلك لا يجمع جذراهما ، مثل عشرة واثنين ، فإن الخارج من الضرب عشرون ولا جذر لها ، فإذا جمع هذان الجذران قيل فيهما جذر عشرة وجذر اثنين ، ولهذا سميا بالخط ذي الاسمين ، لأنه لا ينطق بهما باسم واحد ، فإذا قصدت جمع ما يجمع من الجذور ضربت أحد المجذورين في الآخر ، ويؤخذ جذر ه مرتين ، ثم يضم أحد المجذورين إلى الآخر ويجمعان مع الجذرين ويؤخذ جذر الجميع فهو المطلوب ، كجذر ثمانية وجذر اثنين ، تضرب اثنين في ثمانية ستة عشر فجذراها ثمانية ، ثم تضم ثمانية لاثنين يكون عشرة تجمع مع الجذرين يجتمع ثمانية عشر يؤخذ جذر ذلك فجذر ثمانية عشر هو جذر ثمانية وجذر اثنين موضوعين .