الرئيسية
موسوعات
مقالات
الفتوى
الاستشارات
الصوتيات
المكتبة
المواريث
بنين وبنات
كتب الأمة
تعريف بالمكتبة
قائمة الكتب
عرض موضوعي
تراجم الأعلام- الرئيسية
- الذخيرة
- كتاب الفرائض
- القسم الثاني من الكتاب في الحساب
- النظر الثاني في حساب الجبر والمقابلة
- الباب العاشر في التعديل والجبر والمقابلة
- الثلاثة المفترقة الأولى أموال وأشياء تعدل عددا
صفحة
179
الثلاثة المفترقة
وهي أموال وأشياء تعدل عددا ، وأموال وعدد يعدل أشياء ، وأشياء وعدد يعدل أموالا .
المسألة الأولى : أموال وأشياء تعدل عددا ، أما المال والشيء فالعمل أن ترد الأموال بالزيادة أو النقص إلى مال واحد وتفعل بالأشياء والعدد من الزيادة والنقص بالنسبة إليها كما فعلت بالأموال بالنسبة إليها ، وهذا مستمر في المسألة الثانية والثالثة : ثم تربع نصف الأشياء وتزيده على العدد ، وتأخذ جذر المبلغ فتنقص منه نصف عدد الأشياء ، فما بقي فهو الشيء .
مثاله مالان وثمانية أشياء تعدل اثنين وأربعين درهما ، رد الأموال إلى مال واحد ، وتفعل بالأشياء والدراهم ما فعلت بالأموال ، ترجع إلى مال وأربعة أشياء ، تعدل أحدا وعشرين بربع نصف عدد الأشياء ( يكون أربعة ، تزيده على أحد وعشرين وتأخذ جذر المبلغ وهو خمسة ، تنقص منه نصف عدد الأشياء ) يبقى ثلاثة وهو الشيء ، فالمال تسعة .
والعلة في هذا العمل أن ما يقابل المال من العدد هو ما يرتفع من ضرب الشيء [ ص: 179 ] في نفسه ، وما يقابل الأشياء هو ما يرتفع من ضرب العدد في نصف عدد الأشياء مرتين ، فإذا زدت عليه مربع نصف عدد الأشياء بلغ مربع الشيء ونصف عدد الأشياء مجموعين ، برهن إقليدس على ذلك في المقالة الثانية من كتابه ، وإذا زدت على العدد مربع نصف عدد الأشياء وأخذت جذر المبلغ وأسقطت منه نصف عدد الأشياء كان الباقي كما ذكرنا .
مسألة
إذا مضى من ساعات الليل الباقية مثل مربع ما مضى ، وضرب ما مضى في ثلث ما بقي يبقى في الليل ربعه ، فالعمل أن تجعل الماضي شيئا والباقي اثنتي عشرة ساعة إلا شيئا ، وتجمع الماضي ومربعه وتضربه في ثلث الباقي يكون ثلثي مال وخمسة أشياء ، وذلك يعدل تسعة ، فإذا كملت المال وفعلت بالأشياء والعدد ما فعلت بالمال رجع إلى مال وتسعة أشياء ونصف تعدل ثلاثة عشر ونصفا ، فيخرج الشيء بالعمل واحدا ونصفا ، فالماضي من الليل ساعة ونصف والباقي عشر ساعات ونصف .
مسألة
انتهبا مال أبيهما ، فقيل لأحدهما رد على أخيك مثل مربع ما في يدك ، وقيل للثاني رد على أخيك عشرة دراهم فصار مع كل واحد حقه ، العمل أن تجعل ما انتهب أحدهما عشرة دراهم ومالا ، وما انتهب الثاني شيئا ، فإذا أعطى الأول الثاني مالا وأخذ منه عشرة دراهم صار معه عشرون درهما ، ومع الثاني مال وشيء إلا عشرة ويجب أن يكونا متساويين ، فإذا جبرت وقابلت رجع إلى مال وشيء يعدل ثلاثين درهما ، فإذا فعلت ما ذكرناه يخرج الشيء خمسة دراهم وهي ما انتهب أحدهما ، وانتهب الآخر خمسة وثلاثين ، ومال أبيهما أربعون ، وينبغي أن يعلم أن السائل متى قال مال وعشرة أجذار يعدلان تسعة وثلاثين فمعناه أن مالا إذا زيد عليه أجذار بلغ تسعة وثلاثين ، من ضرورة هذا السؤال أن يوضع وضعا منتظما ، فلو قال مال وعشرة أجذار تعدل ثلاثين من العدد لم يستقم ، فإنا لا نجد مالا مجذورا تزيد [ ص: 180 ] عليه عشرة أجذار يبلغ ثلاثين ، ولا يعلم تحقيق السؤال في هذا إلا مطلع على علم العدد ، فيضع العدد وضعا إذا زيد على المال أعداد أجذاره المذكورة كان مقابلا للعدد الموضوع في سؤال السائل ، هذا لا بد منه ، فيحتاج الحاسب أن يعلم ما يقابل المال من العدد فيضعه حتى تصح المسألة .
ولك في المسألة طريق آخر أن تضرب الأموال في العدد وتحفظ المجتمع ، ثم تنصف الأجذار ، فإذا نصفتها صارت عددا ، ثم تضرب ذلك النصف في نفسه وتحمل المجتمع على المحفوظ وتأخذ جذره وتطرح منه نصف عدد الأشياء ، فما بقي قسمته على عدد الأموال ، فما خرج فهو الجذر ، والمال هو من ضربه في نفسه ، وهذا العمل يعينك على رد الأموال إلى مال واحد ورد ما معك إلى ذلك ، ويعينك على جبر كسر المال وجبر ما معه ، ويسهل عليك حل المسائل .
وأما إذا كان معك مال واحد استغنيت عن ضرب الأموال في العدد ، وعن قسمة ما بقي من الجذر بعد طرح نصف عدد الأجذار من الجذر على الأموال .
فإن قيل : مال وعشرة أجذار تعدل تسعة وثلاثين من العدد ، كم الجذر ؟ وكم المال ؟ يخرج الشيء ثلاثة والمال تسعة ، وامتحانه أن المال تسعة ، وعشرة الأجذار ثلاثون ، فالجميع تسعة وثلاثون كما كان العدد ، فإن أردت الخروج إلى المال قبل الجذر فاضرب عدد الأجذار في نفسها ، ثم في التسعة وثلاثين يكن ثلاثة آلاف وتسعمائة احفظها ، ثم اضرب المائة التي قامت من ضرب عدد الأجذار في نفسها واحملها على الثلاثة الآلاف وتسعمائة وخذ جذر المجتمع ، وذلك ثمانون ، اطرح منها الخمسين ، الباقي ثلاثون ، اطرحها من التسعة وثلاثين الباقي تسعة وهو المال ، فالجذر ثلاثة .
فإن قيل : مال وثلاثة أثمان مال وثلاثة أجذار تعدل مائة واثني عشر ، ضربت المال وثلاثة أثمان مال في المائة والاثني عشر تكون مائة وأربعة وخمسين ، ثم تنصف الأشياء وتضربها في نفسها وتحمل المجتمع على المائة والأربعة وخمسين تكن مائة وستة وخمسين وربعا ، تأخذ جذرها اثني عشر [ ص: 181 ] ونصفا ، اطرح منها نصف الأجذار ، الباقي أحد عشر ، اقسم ذلك على المال وثلاثة أثمان مال يخرج الشيء ثمانية والمال أربعة وستون ، وإن شئت نسبة مالا من مال وثلاثة أثمان مال ، وذلك ثمانية أجزاء من أحد عشر فتأخذ من كل ما معك ثمانية أجزاء من أحد عشر ، ولك طريق آخر ، أن تضرب نصف عدد الجذور في مثله ، وتضم الخارج إلى العدد ، ويؤخذ جذر الجميع ويسقط منه نصف عدد الجذور ، فما بقي فهو جذر المال ، والمال متركب منه ، نحو مال وعشرة أجذار تعدل عشرة من العدد ، ونصف عدد الجذور في مثله خمسة وعشرون ، تضم إليه أربعة وعشرين فيصير الجميع تسعة وأربعين جذر ها سبعة ، فيسقط منها نصف عدد الجذور وهو خمسة ، الباقي اثنان وهو جذر المال ، والمال أربعة .
وبرهانه بما يظهر للحس بالهندسة : أن تجعل المال سطحا مربعا متساوي الأضلاع والزوايا ، كل مبلغ من أضلاعه جذر عليه أ ب ج د ثم تصل بأحد أجذاره وهو ج ب خط ب هـ وتجعله في عشرة من العدد ثم تضربه في خط ب أ ، وهو أحد أجذار المال فيتركب منه سطح ب و فيكون عشرة أجذار ، لأن ضرب جذر في عشرة آحاد عشرة أجذار ، فسطح ج و إذا أربعة وعشرون من العدد لأنه المال ، وعشرة أجذاره ، ثم تقسم خط ب هـ بنصفين على نقطة ح ، ثم تضرب خط ح ج في نفسه فيتركب سطح ح ك ب هـ ، ثم تخرج خط ب أ إلى نقطة ع فقد كمل الشكل ، وهو يدل من وجهين ، أحدهما أن خط ب هـ قد قسم بنصفين وزيد في طوله ب ح ، فتضرب ( هـ ح ) في ( ب ح ) ، و ( ح ب ) في نفسه مثل ضرب ج ح في نفسه كما تقدم في القواعد .
ملاحظة : لا تظهر بعض الحروف على سطح المربع في المخطوطات أو يبدو أثرها مطموسا ، [ ص: 182 ] ومعلوم أن ضرب الخط كله وهو خط هـ ح في ح د ، وهو مثل ح ب أربعة وعشرون ، لأن مسطح ج و هو المال والعشرة أجذار ، وضرب نصف الخط الأقل في نفسه وهو خط ح ب خمسة وعشرون ، لأنه خمسة ، فيصير الجميع تسعة وأربعين ، وهو مثل ضرب نصف الخط مع الزيادة في نفسه ، وهو خط ج ح ، وخط ح ح جذر ه فهو سبعة ، فإذا أسقطت منه نصف عدد الجذور وهو خط ح ب وهو خمسة بقي خط ب ح اثنين وهو جذر المال ، والمال أربعة .
وهي أموال وأشياء تعدل عددا ، وأموال وعدد يعدل أشياء ، وأشياء وعدد يعدل أموالا .
المسألة الأولى : أموال وأشياء تعدل عددا ، أما المال والشيء فالعمل أن ترد الأموال بالزيادة أو النقص إلى مال واحد وتفعل بالأشياء والعدد من الزيادة والنقص بالنسبة إليها كما فعلت بالأموال بالنسبة إليها ، وهذا مستمر في المسألة الثانية والثالثة : ثم تربع نصف الأشياء وتزيده على العدد ، وتأخذ جذر المبلغ فتنقص منه نصف عدد الأشياء ، فما بقي فهو الشيء .
مثاله مالان وثمانية أشياء تعدل اثنين وأربعين درهما ، رد الأموال إلى مال واحد ، وتفعل بالأشياء والدراهم ما فعلت بالأموال ، ترجع إلى مال وأربعة أشياء ، تعدل أحدا وعشرين بربع نصف عدد الأشياء ( يكون أربعة ، تزيده على أحد وعشرين وتأخذ جذر المبلغ وهو خمسة ، تنقص منه نصف عدد الأشياء ) يبقى ثلاثة وهو الشيء ، فالمال تسعة .
والعلة في هذا العمل أن ما يقابل المال من العدد هو ما يرتفع من ضرب الشيء [ ص: 179 ] في نفسه ، وما يقابل الأشياء هو ما يرتفع من ضرب العدد في نصف عدد الأشياء مرتين ، فإذا زدت عليه مربع نصف عدد الأشياء بلغ مربع الشيء ونصف عدد الأشياء مجموعين ، برهن إقليدس على ذلك في المقالة الثانية من كتابه ، وإذا زدت على العدد مربع نصف عدد الأشياء وأخذت جذر المبلغ وأسقطت منه نصف عدد الأشياء كان الباقي كما ذكرنا .
مسألة
إذا مضى من ساعات الليل الباقية مثل مربع ما مضى ، وضرب ما مضى في ثلث ما بقي يبقى في الليل ربعه ، فالعمل أن تجعل الماضي شيئا والباقي اثنتي عشرة ساعة إلا شيئا ، وتجمع الماضي ومربعه وتضربه في ثلث الباقي يكون ثلثي مال وخمسة أشياء ، وذلك يعدل تسعة ، فإذا كملت المال وفعلت بالأشياء والعدد ما فعلت بالمال رجع إلى مال وتسعة أشياء ونصف تعدل ثلاثة عشر ونصفا ، فيخرج الشيء بالعمل واحدا ونصفا ، فالماضي من الليل ساعة ونصف والباقي عشر ساعات ونصف .
مسألة
انتهبا مال أبيهما ، فقيل لأحدهما رد على أخيك مثل مربع ما في يدك ، وقيل للثاني رد على أخيك عشرة دراهم فصار مع كل واحد حقه ، العمل أن تجعل ما انتهب أحدهما عشرة دراهم ومالا ، وما انتهب الثاني شيئا ، فإذا أعطى الأول الثاني مالا وأخذ منه عشرة دراهم صار معه عشرون درهما ، ومع الثاني مال وشيء إلا عشرة ويجب أن يكونا متساويين ، فإذا جبرت وقابلت رجع إلى مال وشيء يعدل ثلاثين درهما ، فإذا فعلت ما ذكرناه يخرج الشيء خمسة دراهم وهي ما انتهب أحدهما ، وانتهب الآخر خمسة وثلاثين ، ومال أبيهما أربعون ، وينبغي أن يعلم أن السائل متى قال مال وعشرة أجذار يعدلان تسعة وثلاثين فمعناه أن مالا إذا زيد عليه أجذار بلغ تسعة وثلاثين ، من ضرورة هذا السؤال أن يوضع وضعا منتظما ، فلو قال مال وعشرة أجذار تعدل ثلاثين من العدد لم يستقم ، فإنا لا نجد مالا مجذورا تزيد [ ص: 180 ] عليه عشرة أجذار يبلغ ثلاثين ، ولا يعلم تحقيق السؤال في هذا إلا مطلع على علم العدد ، فيضع العدد وضعا إذا زيد على المال أعداد أجذاره المذكورة كان مقابلا للعدد الموضوع في سؤال السائل ، هذا لا بد منه ، فيحتاج الحاسب أن يعلم ما يقابل المال من العدد فيضعه حتى تصح المسألة .
ولك في المسألة طريق آخر أن تضرب الأموال في العدد وتحفظ المجتمع ، ثم تنصف الأجذار ، فإذا نصفتها صارت عددا ، ثم تضرب ذلك النصف في نفسه وتحمل المجتمع على المحفوظ وتأخذ جذره وتطرح منه نصف عدد الأشياء ، فما بقي قسمته على عدد الأموال ، فما خرج فهو الجذر ، والمال هو من ضربه في نفسه ، وهذا العمل يعينك على رد الأموال إلى مال واحد ورد ما معك إلى ذلك ، ويعينك على جبر كسر المال وجبر ما معه ، ويسهل عليك حل المسائل .
وأما إذا كان معك مال واحد استغنيت عن ضرب الأموال في العدد ، وعن قسمة ما بقي من الجذر بعد طرح نصف عدد الأجذار من الجذر على الأموال .
فإن قيل : مال وعشرة أجذار تعدل تسعة وثلاثين من العدد ، كم الجذر ؟ وكم المال ؟ يخرج الشيء ثلاثة والمال تسعة ، وامتحانه أن المال تسعة ، وعشرة الأجذار ثلاثون ، فالجميع تسعة وثلاثون كما كان العدد ، فإن أردت الخروج إلى المال قبل الجذر فاضرب عدد الأجذار في نفسها ، ثم في التسعة وثلاثين يكن ثلاثة آلاف وتسعمائة احفظها ، ثم اضرب المائة التي قامت من ضرب عدد الأجذار في نفسها واحملها على الثلاثة الآلاف وتسعمائة وخذ جذر المجتمع ، وذلك ثمانون ، اطرح منها الخمسين ، الباقي ثلاثون ، اطرحها من التسعة وثلاثين الباقي تسعة وهو المال ، فالجذر ثلاثة .
فإن قيل : مال وثلاثة أثمان مال وثلاثة أجذار تعدل مائة واثني عشر ، ضربت المال وثلاثة أثمان مال في المائة والاثني عشر تكون مائة وأربعة وخمسين ، ثم تنصف الأشياء وتضربها في نفسها وتحمل المجتمع على المائة والأربعة وخمسين تكن مائة وستة وخمسين وربعا ، تأخذ جذرها اثني عشر [ ص: 181 ] ونصفا ، اطرح منها نصف الأجذار ، الباقي أحد عشر ، اقسم ذلك على المال وثلاثة أثمان مال يخرج الشيء ثمانية والمال أربعة وستون ، وإن شئت نسبة مالا من مال وثلاثة أثمان مال ، وذلك ثمانية أجزاء من أحد عشر فتأخذ من كل ما معك ثمانية أجزاء من أحد عشر ، ولك طريق آخر ، أن تضرب نصف عدد الجذور في مثله ، وتضم الخارج إلى العدد ، ويؤخذ جذر الجميع ويسقط منه نصف عدد الجذور ، فما بقي فهو جذر المال ، والمال متركب منه ، نحو مال وعشرة أجذار تعدل عشرة من العدد ، ونصف عدد الجذور في مثله خمسة وعشرون ، تضم إليه أربعة وعشرين فيصير الجميع تسعة وأربعين جذر ها سبعة ، فيسقط منها نصف عدد الجذور وهو خمسة ، الباقي اثنان وهو جذر المال ، والمال أربعة .
وبرهانه بما يظهر للحس بالهندسة : أن تجعل المال سطحا مربعا متساوي الأضلاع والزوايا ، كل مبلغ من أضلاعه جذر عليه أ ب ج د ثم تصل بأحد أجذاره وهو ج ب خط ب هـ وتجعله في عشرة من العدد ثم تضربه في خط ب أ ، وهو أحد أجذار المال فيتركب منه سطح ب و فيكون عشرة أجذار ، لأن ضرب جذر في عشرة آحاد عشرة أجذار ، فسطح ج و إذا أربعة وعشرون من العدد لأنه المال ، وعشرة أجذاره ، ثم تقسم خط ب هـ بنصفين على نقطة ح ، ثم تضرب خط ح ج في نفسه فيتركب سطح ح ك ب هـ ، ثم تخرج خط ب أ إلى نقطة ع فقد كمل الشكل ، وهو يدل من وجهين ، أحدهما أن خط ب هـ قد قسم بنصفين وزيد في طوله ب ح ، فتضرب ( هـ ح ) في ( ب ح ) ، و ( ح ب ) في نفسه مثل ضرب ج ح في نفسه كما تقدم في القواعد .
ملاحظة : لا تظهر بعض الحروف على سطح المربع في المخطوطات أو يبدو أثرها مطموسا ، [ ص: 182 ] ومعلوم أن ضرب الخط كله وهو خط هـ ح في ح د ، وهو مثل ح ب أربعة وعشرون ، لأن مسطح ج و هو المال والعشرة أجذار ، وضرب نصف الخط الأقل في نفسه وهو خط ح ب خمسة وعشرون ، لأنه خمسة ، فيصير الجميع تسعة وأربعين ، وهو مثل ضرب نصف الخط مع الزيادة في نفسه ، وهو خط ج ح ، وخط ح ح جذر ه فهو سبعة ، فإذا أسقطت منه نصف عدد الجذور وهو خط ح ب وهو خمسة بقي خط ب ح اثنين وهو جذر المال ، والمال أربعة .
التالي
السابق
الخدمات العلمية
