Est-ce que nous pouvons donner la Zakate à un frère - ou une sœur - qui vit avec nous dans même maison, mais qui poursuit ses études dans une autre ville, loin de nous ?

Louange à Allah. Paix et salut sur Son Prophète.

Cher frère,

La Zakate n’est distribuée qu’aux personnes mentionnées dans le Coran, Allah dit : Les sadaqâtes ne sont destinées que pour les pauvres, les indigents, ceux qui y travaillent, ceux dont les cœurs sont à gagner (à l’islam), l’affranchissement des jougs, ceux qui sont lourdement endettés, dans le sentier d’Allah, et pour le voyageur (en détresse). C’est un décret d’Allah et Allah est Omniscient et Sage. (sourate 9/verset 60).
Donc la Chariâ exige de ne donner la Zakate qu’à une personne la méritant.
Si votre frère est pauvre et que vous ne subvenez pas à ses besoins, alors il n’y a aucun mal à lui donner la Zakate de vos biens même s’il vit avec vous, sous un même toit.
Au contraire, il est possible que le versement de la zakate à votre frère soit plus méritant que son versement à un autre, car le Prophète a dit : La Sadaka à l’indigent est une aumône, alors que la Sadaka à un parent a deux mérites : C’est une aumône et un respect des liens de parenté (Tirmidhi).
A noter que votre frère (qui est pauvre) serait encore plus dans le besoin du fait qu’il poursuit ses études dans une ville éloignée. Ce qui confirme son droit à votre zakate.
Et Allah sait mieux.